Mer matte! Nu: komplexa tal

Det har varit många matteuppgifter på forumet på sistone. Jag ska skriva prov nästa vecka, och den här uppgiften förstår jag inte hur jag ska lösa:

För ett komplext tal z gäller att Re z = 5
Vilka värden kan Re (1/z) anta?

Anta att z=5+x*i, beräkna Re(1/z) för alla x och bestäm vilka verdier Re(1/z) kan anta.

edit: det går att använda z=a*exp(i*alpha) formeln för att resonera sig fram till ett svar på ett enkelt sett också.

Hm, du kan skrive tallet formen 5+ix , der x kan være alle reele tall.

Du er ute etter 1/z, som er 1/ (5+ix). For å gjøre dette løsbart (med reell nevner) ganger du med komplekskonjugatet oppe og nede, deler det deretter opp i Re(z) og Im(z).

EDIT:
du ender da opp med ett uttrykk for hva Re(z) er, men om poenget er å vise Df for Re(Z), må du jo bare se hva som skjer når x blir stort/smått og se hvor "endepkt" ligger

Då förstår jag. Tack ska ni ha!

Här kommer en till:

Vilket av alla komplexa tal z som uppfyller villkoret |z-25i|är mindre eller lika med 15 har det minsta argumentet i intervallet från och med 0 till och med 2pi?

Säker på att du har skrivit upp uppgiften rätt?

Alla reela tal >=0 löser väl olikheten och har argumenten noll.

Metoden jag tror du ska använda är annars att se geometrien i problemet i det komplexa planet. |z-z_0|=alpha är en sirkel med radie=alpha och senter i z_0.

Så här har jag gjort:

Det ser bra ut i previewen, men inte på forumet.

|z-25i|≤15
z=a+bi
z-25i=a+(b-25)i
√(a^2+(b-25)^2 )≤15
(b-25)^2≤225-a^2
b≤40-a
tan⁡v=(40-a)/a
v=tan^(-1)⁡((40-a)/a)

Jag kom fram till att b är mindre eller lika med 40-a.

tan v = (40-a)/a
v=tan^(-1)((40-a)/a)

Så tänkte jag räkna ut minimum av v, men jag klarar inte att derivera v. Men jag misstänker att det jag har räknat ut inte är relevant?

Är z_0=25i? och alpha=15?

Jag skulle lösa oppgiften gjenom att se på problemet geometrisk. Rita opp sirkeln (ja, z_0=25i och alpha=15). Då bör det vara enkelt att se att lösningen med minsta argumentet ligger på kanten på sirkeln och att "z kommer vara tangenten för sirkeln". Då får man en rättsidig triangel där man kan räkna ut vinkeln och sidorna. Sen kan man räkna ut det komplexa talet.

Alla tal förutom argumentet hoppade ut bra.


Du kan också göra som du gör men jag tror du har räknat fel när du kom fram till b=40-a och beräkningarna verkar bli jobbiga.

Enig med fredriks her, en konkret utregning og minimering av vinkelen er overkill.
Hvis du med en skisse argumenterer for hvilken kvadrant du befinner seg, pluss att du kan argumentere deg fremtil att svaret åpenbart ligger i ytterpkt (altså lik 15, ikke mindre enn), kan du så se på det som en vektoroppgave der du ønsker å finne tangenten til sirkelen, eller om du vil, en løsning i første kvadrant der du har prikkproduktet mellom uttrykket over og vektoren fra origo til punktet = 0.